續Chaos ～ 愛情方程式

這是一篇好玩的文章，現在許多科學家開使要去用電腦模擬許多生活的現象，連愛情都可以拿來模擬，這是我課堂的一門作業，跟大家分享一下。

若 以兩個方程式來描述 Roemo 與 Juliet的愛情，其愛情模式如下。

dR/dt = aR + bJ; R(t) = Romeo's love for Juliet
dJ/dt = cR + dJ; J(t) = Juliet's love for Romeo

因此隨著 a, b, c, d 參數的不同，Romeo & Juliet會有什麼結局呢？

情境一：
a = 0.3 ; b = 0.4 ; c = 0.1 ; d = 0.5 ; dt = 0.01 起始值 R = 1 ; J = 1

Romeo與Juliet在一次偶然的宴會相遇，彼此都對對方有好感（起始值 R = 1 ; J = 1），因而開始嘗試交往。就如同童話故事所言，這是一個平凡到不能再平凡的故事，雖然Romeo與Juliet在交往的過程中受到不少阻礙，無論是家人的反對或外在環境的衝擊（這些變項完全不在方程式內），甚至更加強化了他們彼此對於這得來不易愛情的珍惜（b > 0, c > 0，畢竟對方都能夠克服萬難來愛自己，自己一定要更努力），而他們發自內心深愛對方的心情（a > 0 , d > 0），更加穩固了他們的情感，他們的愛情漸漸的上升，並越加強烈（Time series圖呈現上升趨勢），彼此越來越愛對方，直到太陽停止東昇的那一日（Phase Chart呈現一直線朝固定斜率往無限大延伸）。

情境二：
a = 0.2 ; b = 1 ; c = -2 ; d = -0.5 ; dt = 0.01 起始值 R = 1 ; J = 1
Romeo與Juliet在一次偶然的宴會相遇，彼此都對方有好感（起始值 R = 1 ; J = 1），因而開始嘗試交往。Remeo過度的在乎Juliet的愛因而患得患失（b > 0），Juliet愛他時，則滿心歡喜，但當Juliet冷落他時，他亦不甘示弱，冷戰以對，然而在他心中Juliet仍舊是他的最愛也值得去愛（a > 0）；Juliet對於Romeo的愛並不是十分領情，然而不服輸的個性，往往在Romeo的愛遠離時，會驅策她不計代價再去奪回Romeo的心（c <0），但是屈尊下就不是Juliet的本色，若承認自己愛別人，將會減損自己的價值，但說不愛又太過，因而在愛與不愛之間擺盪（d <0）。這樣子結合從時間的序列可見，Romeo受到Juliet的影響而起起伏伏，至於Julie的愛也隨著其性格使然，愛與不愛劇烈擺盪。最終的結果可以想見，愛成為折磨彼此靈魂的工具，慢慢地麻痺，慢慢地麻痺，直到當愛已成往事（相圖中軌跡在四個象限中環繞，慢慢趨近零）。

情境三：
a = 1 ; b = -1 ; c = 10 ; d = -1.1 ; dt = 0.01 起始值 R = 1 ; J = 1
Romeo與Juliet在一次偶然的宴會相遇，彼此都對方有好感（起始值 R = 1 ; J = 1），因而開始嘗試交往。本質而言，Romeo是喜歡Juliet的（a > 0），但是他不喜歡太黏的女生，窒息式的愛情不是他想要（b <0），因此當女生太過黏人，他會逃但是不會逃得太遠，就像哈雷慧星即便會離開太陽系，但每76年仍舊會回到太陽身邊，更何況Romeo不會離開Juliet那麼久；而對Juliet而言，她極度重視Romeo，彷彿一旦Romeo的目光不在他身上，她相信她鐵定會如沙漠中的玫瑰一樣枯萎，但是只要Romeo一句小小的溫馨問候，就可以萌生那最純真的愛意（c > 0），但是或許害怕過度迷戀Romeo將會喪失本體自我，Juliet試著約束自己的愛戀之心，即便她渴求Romeo的愛，亦不能讓自己的愛如洪水般氾濫（d <0）。從時間序列可見，Romeo與Juliet的愛在擺盪，愛的越強烈，反饋越強烈，但似乎皆呈現一個規律的原則。從相圖更發現，愛正交織成一個圓形的迴圈，正巧妙地說明，愛可以使人在雲端，也可以讓人跌入地獄，而這生生不息的輪迴將永無止息。


看到上面的假設，生活於現實中的你我，可能會覺得很好笑吧...或許吧～該篇論文還有討論好多種可能的情況，包誇好人遇到雞乖女，花花公子遇到癡情女等等，還有第三者介入的方程式模型咧....

然而我們要問的是愛情的可預測性，或許就像是Chaos一樣，看起來是永遠無法預測的，卻又似乎有軌跡可循，或許有些人的互動會向是落在吸子內，死都不會離開那個範圍，但是也有可能那會是一個永遠沒有相交的平行線......

期盼每個人都有一個美好的羅倫茲吸子。

Chaos

最近在上一門課，叫做渾沌理論在生命科學上的應用。
其實講到渾沌，大家一定都會想到侏羅紀公園裡面的那個科學家。
他用了一個例子"就是所謂的巴西雨林的一隻蝴蝶在振翅，所引起的氣流擾動將引發一個月後的北京暴風雪。"

其實這個觀念想要講的就是初始效應的微小變化，經過長久的改變後，其結果並不是那麼可以預測地。

而這個渾沌的概念在近代會發跡，也真的起源於一位氣象學家，名為 Lorenz ，其最為有名的就是其設定出來的 Lorenz_attractor（羅倫茲吸子）。

這個吸子是由三組公式所形成，他的特點就是在有限空間內會有無限延長的線斷。而且所有的點都不會相交，很神奇吧.... 在現實生活的確很神奇，但是在數學領域內，線段本來就沒有寬度，因此可以在一個微小空間塞入無限長的線斷自然是沒有問題，就好比我們永可以將兩點間在分為更小的十個單位一樣，直到無限小。

回到羅倫茲吸子這個圖，有趣的現在在於，若以一個 x ,y, z 點作為起始值，在這個羅倫茲系統內運行，將會發現這個系統隨著時間的改變而產生的位移，將可以形成一個永不交會的軌跡。在此舉個有趣的例子，若假設把我們想像為乘坐在羅倫茲系統內的一個雲霄飛車，我們將永無回到原點的一日，而且可能妳的伙伴一開始可能在你比肩的軌道上，但是經過一段時間後距離將天南地北，而這就是Chaos所要表達的第一個特點，那就是起始初始值的細微差異，將會導致未來的巨大變化。

但是另一個有趣的特性就是，雖然羅倫茲系統的軌跡永不重複，但是他卻始終圍繞著這兩個 attractor（吸子），亦即軌道是被限制在有限的一個空間內，因此在有限空間內卻包含著無限的線段。而這個特性其實就是所謂的碎形概念。

但是為什麼我要寫這一篇呢？撇除了就是想寫以外，因為要發現羅倫茲系統的現象，有一個重要的東西就是圖形的解讀，一般在 chaos 領域裡稱為 Phase Diagram，這是一個很重要的東西。根據這個圖形我們得以去觀察到一些以往線性預測模型所無法看到的非線性模型。